Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
伯奇 & 斯温纳顿-戴尔猜想
Birch & Swinnerton - Dyer Conjecture
20世纪60年代,剑桥大学的B. Birch和H. P. F. Swinnerton-Dyer利用当时尚属稀缺资源的计算机对椭圆曲线的有理解进行了大量计算,并对计算数据进行分析后提出了这个深刻的数学猜想。
怀尔斯证明费马大定理后声名鹊起,当有人问他会不会尝试黎曼假设时,他说自从费马大定理被证明后他最心仪的数学难题是BSD猜想。
其实BSD猜想荣膺七大千禧难题之列,与怀尔斯作为克雷数学研究所科学顾问团和理事会的成员有一些渊源,2000年克雷数学研究所效法1900年的希尔伯特,恳请数学、物理领域久负盛名的世界顶级专家拟定七大千禧难题,Edward Witten 和 Arthur Jaffe 圈定了<杨-米尔斯理论与质量缺口假设>,Alain Connes 圈定了<黎曼假设>,而Andrew Wiles 则圈定了<伯奇 & 斯温纳顿-戴尔猜想>,在克雷数学研究所的官方资料中BSD猜想的权威解读也是由怀尔斯给出。
ζ 初等数学渊源
是否存在边长为有理数而面积为正整数 d 的直角三角形?(比如 d=6 则勾三股四弦五是满足条件的解)如果存在,这样的有理直角三角形有多少个?找出所有这样的 d?
ζ 问题表述
The Taylor expansion of L(C, s) at s = 1 has the form
L(C, s) = c (s-1)^{r} + higher order terms
with c ≠ 0 and r = rank(C(Q)).
In particular this conjecture asserts that L(C, 1) = 0 ⇔ C(Q) is infinite.
ζ 数学元素
ξ 椭圆曲线(Elliptic Curve):形如 {y^2=x^3+a*x+b} 的二元三次方程的几何图像,这是一般的二元三次方程 {A*x^3+B*x^2*y+C*x*y^2+D*y^3+E*x^2}+\\{F*x*y+G*y^2+H*x+I*y+J=0}
通过代数变换后的等价简约式。
ξ 关于模运算的有限群
ξ 狄利克雷 L(s,χ) 级数(Dirichlet L-Series)
ζ 相关联的数学猜想
谷山-志村猜想(Taniyama-Shimura Conjecture):有理代数域上椭圆曲线与模形式一一对应,即如今的怀尔斯定理
ζ 数学意义
BSD猜想与朗兰兹纲领志同道合,问题的解决可能会在群论和数论之间找到某种基本的联系。
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