The Hodge Conjecture

霍奇猜想
The Hodge Conjecture
Hodge Conjecture
可以说霍奇猜想集中体现了现代数学发展中抽象特征在滚雪球般扩大的趋势,在克雷的官方资料中此猜想由证明韦伊猜想的比利时裔数学家 Pierre Deligne 给出权威解读。提出此猜想的霍奇爵士生前是名英国数学家,也是 M·阿蒂亚的老师,霍奇爵士当初是在国际数学家大会的演讲中把此猜想作为开放性问题提出
霍奇曾提出一个更一般化的推广命题,即广义霍奇猜想,但被格罗滕迪克指出显然不成立。格罗滕迪克是上个世纪很有影响力的数学家,他和另一位传奇数学人物塞尔强强联手革新了代数几何这门学科。
ζ 问题表述
ξ On a projective non-singular algebraic variety over C, any Hodge class is a rational linear combination of classes cl(Z) of algebraic cycles.
ξ 一个非奇异射影复代数簇上的每一个(一定类型的)调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。
ζ 数学元素
ξ 代数簇(Algebraic Variety):代数曲线、代数曲面推广到 n 维空间中的对应数学概念,即 n 维流形中坐标由一组 n 元代数方程的公共解确定的点的集合。
ξ 复流形:黎曼面的推广,保持复解析性,其上能定义微分运算,具有复杂的拓扑结构。非奇异射影复代数簇在数学上同时也是一种特殊的复流形。
ξ 上同调(Cohomology):上同调类定义了能刻画复流形基本特征的拓扑不变量
ξ  柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):全纯函数(即复分析中的解析函数)的充分必要条件。
ξ 拉普拉斯方程(Laplace’s Equation):一类在物理中很有用的椭圆型偏微分方程,拉普拉斯方程的解称为调和函数。解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程,拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导。
ξ 微分形式(Differential Form):外导数、外微分、外代数
ζ 数学意义
可以预见的是,与阿蒂亚-辛格指标定理一样,霍奇猜想的解决将在数学三大分支即分析、拓扑、代数之间找到某种基本的内在联系。
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