The Poincaré Conjecture

The Poincaré Conjecture
庞加莱猜想
Poincaré Conjecture
第一道获得解决的千禧难题,但并非因为其简单,而是因为在整个20世纪拓扑学凸显成为数学的基础和主流领域并得到了最大程度的发展。在克雷官方资料中此问题由发现"7维球面存在28种微分结构"的微分拓扑鼻祖 John Milnor 阐述。
ζ 问题的上下文
ξ 对二维流形(三维空间中的表面)的拓扑性质在十九世纪就得到了很好的认识并能按其表面上的洞的个数(拓扑学中称为亏格)来分类。富于直觉和想象力的庞加莱意识到二维球面(比如苹果的表面)可以用橡皮圈紧贴其表面进行任意连续形变能收缩为一个点这个性质来与其它诸如炸面包圈(环面)等二维流形区分开,即球面是单连通的。
ξ 当庞加莱往三维单位球面(四维欧几里德空间中与原点距离等于1的所有点 (x, y, z,w) 构成的集合)情形外推问题时,他发现他碰到了不可逾越的困难,并附注表示这个问题会引导我们更深刻地认识流形。
ξ 事后的历程表明庞加莱猜想即三维流形的情形异常困难。二维流形的情形显而易见,三维以上的情形在上个世纪被先后证明,而1904年庞加莱的发问却历经一个世纪后方于2003年由佩雷尔曼给出了圆满的回答,拓扑学家在证明庞加莱猜想过程中完成了一场跨越时空的数学接力。
ζ 问题表述
ξ 庞加莱猜想:任一单连通的、紧致(即封闭)的三维流形与三维球面同胚(即拓扑等价)。
ξ 几何化猜想:任意可定向紧致(即封闭)三维流形都可切割为若干块三维流形,这些子流形均为三维流形的八种标准几何构造之一。
ξ 瑟斯顿猜想:任意可定向紧致(即封闭)三维流形都有一个“几何构造”,这大体上就是说它可以分成许多小块,而每一块都有一个局部齐性度量。(M·阿提雅的叙述)
ζ 证明历程
⑴ 1961年,美国数学家 Stephen Smale 证明了高于四维情形的广义庞加莱猜想
⑵ 1982年
△ 美国数学家 Michael Freedman 证明了四维的情形,从而确立了广义庞加莱猜想。
△ 美国数学家 William Thurston 提出几何化猜想(Geometrization conjecture)
△ 美国数学家 Richard Hamilton 提出流形上的里奇流纲领
⑶ 2006年,俄罗斯数学家 Grisha Perelman 以汉密尔顿纲领为基础证明了几何化猜想
ζ 佩雷尔曼发布在预印本网站上的论文
⑴ The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (提交于2002年11月11日)
⑵ Ricci flow with surgery on three-manifolds (提交于2003年3月10日)
⑶ Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (提交于2003年7月17日)
ζ 专家解读
ξ Perelman’s proof of the Poincaré Conjecture: A Nonlinear PDE Perspective, Terence Tao
ξ Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, John Morgan & Gang Tian
Advertisements

Tags:

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


%d bloggers like this: