The Riemann Hypothesis

RH:黎曼假设
Riemann hypothesis
Riemann Hypothesis
到新千年 CMI 拟定七大千禧难题时,希尔伯特在1900年提出的23个数学问题中只剩下第八问题(即有关素数的黎曼假设、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等)未获解决,作为纯数学家心目中最具份量的数学难题,黎曼假设理所当然荣膺七大千禧难题之列。
与庞加莱猜想一样,黎曼假设也是由大数学家提出、可是大数学家本人也没辙、最终遗留下来沦为猜想的数学问题。照科普书的说法,黎曼假设是"素数的音乐",通过Mellin变换(一种特殊的傅里叶变换)和Möbius反演,每一个非平凡零点都揭示了素数序列中的一种分布模式,由于有无穷多个非平凡零点,说明素数序列蕴含了无穷多种分布模式,难怪自然界和生物进化中处处都能触摸到素数的烙印。
鉴于已经有数千个所谓的“定理”都以预设RH为前提,人们宁愿称其为“黎曼假设”而非“黎曼猜想”。
在克雷官方的白皮书中,黎曼假设由解析数论的泰斗邦别里教授来解读,邦别里教授是黎曼假设最忠实的信徒,他像信仰宗教一样坚信黎曼假设正确无误只欠一个严格的数学证明。
ζ 问题表述
ξ The real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ½.
ξ 黎曼 ζ 函数的所有非平凡复零点都位于复平面 Re(s)=1/2 的直线上。
ζ 证明RH的进程
⑴ 1914年,英国数学家G.H.哈代证明临界线上有无穷多个零点
⑵ 1942年,挪威裔数学家塞尔伯格证明有一定比例的零点位于临界线上
⑶ 1948年,法国裔数学家韦伊证明函数域上的黎曼假设
⑷ 1974年,美国数学家诺曼·莱文森证明不少于三分之一的零点在临界线上
⑸ 1989年,布赖恩·康雷证明不少于四成的零点在临界线上
ζ 专家评论
ξ Atle Selberg(他证明了非平凡零点在临界线上有一个正测度,还给出了素数定理的第一个初等证明): ⑴如果我们置身的宇宙中有一个毋庸置疑的数学断言,那一定是黎曼假设,既然实在找不出更好的理由,那就纯粹以审美作为理由,惟有简洁明了的思想才会经受住时间的考验。 ⑵ 迄今为止所有证明黎曼假设的尝试都无济于事,简言之,没有人对解决这个问题有什么好主意,换言之,还没有人领悟潜藏在这个问题背后的数学结构。 ⑶ 黎曼假设恐怕很久以后才会有结果,从希尔伯特伊始事实一再证明我们对这个问题过于乐观了。
ξ J. Brian Conrey: 黎曼假设告诉我们素数的分布极其完美。如果黎曼假设是错的,素数分布就会出现诡异的不规则性状,第一个跑到临界线外的零点将会成为重要的数学常数。自然绝不会那么荒诞!
ξ Marcus du Sautoy: 正如我们知道的,黎曼假设可以作为一个典范来阐明广受数学家信奉的柏拉图主义哲学:在丑与美之中,自然总是会选择后者。
ξ 当有人问大卫·希尔伯特如果他能象传说中的巴巴罗萨(神圣罗马帝国皇帝)一样在去世五百年后复活,开口的第一句话会问什么?希尔伯特说:我会问黎曼假设被证明了吗?
ξ H.Montgomery: 如果你是魔鬼并且答应一名数学家只要愿意出卖灵魂就可以换取一个数学定理的证明,你猜哪个数学定理会让大部分数学家宁可为此典当灵魂?我敢说那一定是黎曼假设。
ζ 数学元素
ξ ζ(s):The Riemann zeta function
ξ 解析延拓:analytic continuation
ξ 素数的分布模式
ξ 素数定理
ξ π(x):度量素数密度,几何图像为台阶形爬升折线
ξ 对数积分:Li(x),π(x)的最佳逼近函数
ξ 狄利克雷L函数:the zeta functions of Dirichlet
ζ 相关论著
ξ Riemann’s Zeta Function(Harold M. Edwards),学术专著
ξ Prime Obsession-Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics(John Derbyshire),由数学家写的科普书
ξ The Music of the Primes-Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters,由出色的科普传教士兼数学家Marcus du Sautoy写的科普书
ξ 黎曼博士的零点,(英)萨巴,通俗科普书
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