all right about Mathematics

数学先以它的几何构造,再以它的纯符号构造冲破了语言的桎梏,只要了解这一工作所需的巨大劳动以及它不断涌现的惊人成就,你就不得不承认在知识世界中,与现代语言的惨淡境地以及音乐的各自为政相比,当今数学要更加有为得多。(Andreas Speiser)

A Mathematician’s Apology, G.H.Hardy

  • 每个数学家都不应忘记,与任何其他艺术或科学相比,数学更是一种年轻人的游戏。以入选皇家学会的人为例,数学学科成员的平均年龄是最小的。
  • 粗略地说,一个数学概念有意义,如果它可以同大量形形色色的其他数学概念有一种自然而鲜明的联系。
  • 严肃的数学定理,即是把有意义的概念联系起来的定理。数学定理的美很大程度上就看它是否严肃,正象诗行的美在某种程度上就看诗意是否隽永。
  • 数学家是概念的造型家,而美与严肃则是评价其造型的标准。
  • 数学定理:高度的意外性、必然性和有机性。
  • 一个数学证明应该像一个简单而轮廓分明的星座,而不是银河系中杂乱无章的星群。
  • 我曾经为知识领域添瓦加砖,也曾帮别人添枝加叶;这些东西的价值,比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值,只是程度上有所不同,性质上并无差异。

M·阿提雅

  • 你不可能靠事先预言崭新的思想或理论的办法来发展它们,它们本来就只能通过深入考察一系列问题而显现
  • 数学的某个分支的重要性大体上可以用它对数学其他分支的相互作用的多少来衡量。
  • 数学几乎完全是理论性的,缺乏其他科学所具有的强大的经验基础。数学的进步必定发源自内部。
  • 对问题的选择和系统陈述可谓是一门依赖于单个数学家的直觉的艺术,毫无疑问,对于直觉而言,美学标准起着重要作用。
  • 使数学保持完整与统一的重要砝码是发展更精致、更抽象的概念,在最理想的情形,它们能帮助得到总体性的综合,使大量特殊事实成为某种基本原理的不同表现。
  • 实际上,数学是一门艺术,是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进从而避免蛮力计算的艺术。

冯·诺依曼

  • 事实上,在自然科学中贯穿着一条由“假晶现象”构成的、所有环节都指向数学、并且几乎等同于科学进步的概念本身的连续不断的链条。比如物理学日益被理论物理高度数学化的形式所渗透。
  • 在数学的本质中存在着一种非常特殊的二重性,这种二重性就是数学的本来面目。正如黎曼与Weierstrass之间的争论一样,黎曼的科学个性本身就是数学二重性最鲜明的例证。
  • 微积分是现代数学的第一个成就,而且怎样评价它的重要性都不会过高。我认为,微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端;而且,作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。
  • 理论物理学是最接近数学的学科。理论物理学并不解释现象,而只是进行分类和建立联系。这就意味着,判定这样一种理论成功与否的标准不过是看它是否能够通过简单优美的分类、关联方案涵盖大量如果没有这个方案就显得复杂和混乱的现象,以及这个方案是否甚至还涵盖了在得到这个方案时尚未考虑或者根本不知道的那些现象(理论的统一和预见能力)。这种标准显然在很大程度上具有一种美学的性质,数学的成功标准几乎完全是美学的。
  • 我认为:数学家选择课题和判断成功的标准主要是美学的这种说法是正确的。
  • 我想数学思想来源于经验这一点比较接近事实真相。
  • 数学学科几乎完全被审美动机所支配。
  • 物理学两次危机:发现相对论时的概念反思~短暂而猛烈;发现量子理论时的概念困难~持续很长时间。
  • 科学不尝试说明,甚至几乎不尝试解释,它们主要是建立模型。数学的构造-模型-解释观察到的现象。数学构造合理与否,完全取决于它能否起作用,即正确地描述相当广泛领域内的现象。而且,它必须满足某些审美标准-即在描述程度方面,数学构造必须很简单。
  • 理论的多种解释:选择的准则是数学的便利或喜好。对量子力学在数学上等价的波动力学和矩阵力学两种数学描述,选择哪个解释的动机最终都与量子力学所不能满意解释的领域有关。人们喜欢量子理论的一个解释而不喜欢另一个的原因通常是:人们从直觉上希望,在把量子理论推广到那些还未被正确解释或还未恰当地理论化和得到控制的领域时,量子理论的某个解释能更有启发性。在最近20年里,人们普遍相信问题的关键已在于发现现有理论的正确的形式推广。甚至当数学内容等价时,形式也有巨大的启发性和指导意义,并最终决定结果。
  • 能以更好的形式推广为更有效的新理论的理论将战胜另一理论,不论我们当时的主观选择是什么。这并非一个接受正确理论、抛弃错误理论的问题,而是一个是否接受为了正确的推广而表现出更大的形式适应性的理论的问题。这是一个带有很大机会主义色彩的形式的与艺术的准则。
  • 数学是一所优秀的思维学校,它使人们习惯于逻辑思考,经历它以后你可以比没有经历它的人更有效地进行思维。
  • 在很大程度上,成功在于完全忘掉终极所求,拒不研究获利之事,只依赖智能雅趣准则的指引;遵循此道,长远来看其实会遥遥领先,远胜于执守功利主义之所获。

思想是漫漫长夜的瞬间一闪,但这一闪就意味着一切。(庞加莱)

    摘录于以下书籍:


    (数学家思想文库)一个数学家的辩白,哈代的数学散文,由 李文林翻译
    (数学家思想文库)数学在科学和社会中的作用,冯·诺依曼文选, 由 程钊翻译
    (数学家思想文库)数学的统一性,阿蒂亚文选,由袁向东翻译
    Advertisements

    Tags:

    Leave a Reply

    Fill in your details below or click an icon to log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

    Connecting to %s


    %d bloggers like this: