Archive for the ‘The Millennium Prize Problems’ Category

Existence And Smoothness of The Navier-Stokes Equation

March 11, 2011

纳维-斯托克斯方程组通解的存在性与光滑性

Existence And Smoothness of The Navier-Stokes Equation

Navier-Stokes Equation

∂u/∂t + (u • ▽)u = ƒ – grad p + νΔu

div u = 0

This is the equation which governs the flow of fluids such as water and air. However, there is no proof for the most basic questions one can ask: do solutions exist, and are they unique? Why ask for a proof? Because a proof gives not only certitude, but also understanding.

Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.

鉴于流体(液体和气体)与人们的生活息息相关,这个有关纳维-斯托克斯方程的问题可能是实用价值最高的一道千禧难题。在克雷的官方白皮书中此问题由数学分析及PDE专家、22岁就成为正教授的美国数学家 Charles L. Fefferman 来解读。

查尔斯·费夫曼先生在阐释此问题的白皮书的结尾发出这样的感慨: Fluids are important and hard to understand. There are many fascinating problems and conjectures about the behavior of solutions of the Euler and Navier–Stokes equations. Since we don’t even know whether these solutions exist, our understanding is at a very primitive level. Standard methods from PDE appear inadequate to settle the problem. Instead, we probably need some deep, new ideas.(流体的重要性不言而喻,但流体的性质难以捉摸。 许多引人深思的问题和猜想都与欧拉及纳维-斯托克斯方程组的解的性态有关。鉴于我们甚至都不知道解是否真的存在,我们对此的认识尚处于蒙昧之中。现有偏微分方程理论的方法似乎不足以解决此问题。相反,恐怕我们需要某种更深刻的新思想和新方法。)

与杨-米尔斯方程解的存在性与质量缺口假设一样,解决纳维-斯托克斯方程可能需要物理和数学两方面双管齐下、并驾齐驱。

问题表述

A fundamental problem in analysis is to decide whether such smooth, physicallyreasonable solutions exist for the Navier–Stokes equations.

Navier-Stokes方程的历史

  • 丹尼尔·伯努利在其代表作《Hydrodynamica》(《流体动力学》)中用能量守恒推导了伯努利方程,其中的关键思想是把解取为向量场(Vector Field)。
  • 在Daniel Bernoulli工作的基础上,欧拉建立了描述理想(即不考虑黏性)流体运动的欧拉方程。
  • 纳维和斯托克斯改进了欧拉的方程组,使之适用于黏性流体(即考虑流体摩擦力)。纳维的推导逻辑上不够缜密,但他凭借工程师的直觉得到了正确的方程。爱尔兰数学家斯托克斯爵士则在他的论文《关于运动流体内部摩擦的理论》中正确推导出Navier-Stokes方程。

数学元素

  • 偏微分方程(PDE,Partial Differential Equations):因变量作为以空间和时间为自变量的连续变化的函数的数学模型。
  • 向量微积分(Vector calculus):亦称向量分析(Vector Analysis)
  • 向量场
  • 爆裂时间(blowup time):已知各种初始条件,总能找到一个正数T,使得Navier-Stokes方程对0≤t≤T的所有时间可解。一般来说,数T实在太小了,数T被称作这个特定系统的“爆裂”时间。
  • 计算流体力学(CFD):使用各种各样的数值方法(例如有限差分、有限元、边界元、分析元等等)来求解流体力学的前沿问题。
  • 伯努利方程:适用于非粘滞、不可压缩定常流,在流体力学和空气动力学中有关键性的作用。伯努利方程表明:当流体流过一个表面时,流体作用于表面的压强随着流体速度的增大而减小。这样,伯努利方程解释了为什么飞机能在空中飞行,奠定了现代航空理论的基础。
  • 欧拉方程:描述理想流体运动的PDE,欧拉在1755年发表的论文《流体运动的一般原理》中给出了此方程,怎样一般地解这个方程呢?欧拉说他也不知道。在论文中欧拉这样写道:“如果我们不能洞察关于流体运动的完全的知识的话,那么归结其原因,不在于力学,或不在于已知的运动原理不够充分;这里是分析本身抛弃了我们,因为流体运动的全部理论正好被化归成分析公式的解。”。欧拉没能解出方程,尽管不在克雷千禧难题的范围内,但欧拉方程也是至今尚未解决的数学难题,按陶哲轩教授的看法,要解决Navier-Stokes方程,可能得先解决Navier-Stokes方程的弱命题——欧拉方程,以从中找到某种线索或启示。
  • 纳维-斯托克斯方程:一组五个耦合的二阶非线性偏微分方程组,本质上为微分形式的移动动量方程,属于混合型PDE。(ⅰ)因Navier-Stokes方程包含作为自变量的时间,并描述了空间输运机制,故方程是抛物型的。(ⅱ)若流动是定常的,时间导数项为0,则方程 ⑴ 在亚声速范围内呈椭圆性;⑵ 在超声速范围内呈双曲性。
  • 弱解(weak solutions of the Navier–Stokes equations): J. Leray(勒雷,法国数学家)的创见。A long-established idea in analysis is to prove existence and regularity of solutions of a PDE by first constructing a weak solution, then showing that any weak solution is smooth. This program has been tried for Navier–Stokes with partial success.

物理学元素(流体力学)

  • 雷诺数(Reynolds):反比于流体的黏性。
  • 湍流、层流:J. 勒雷认为湍流可能与Navier-Stokes方程的弱解非唯一和解缺乏光滑性有关。
  • 边界层:由现代流体力学之父Ludwig Prandtl在1904年提出的重要概念,边界层是与物体表面相邻的很薄的层面,边界层内黏性起重要作用因而不容忽视,边界层以外的流体则可近似为理想流体,这个观点可能是现代流体力学在理论方面最重大的进展。

应用领域

  • 航空飞行器设计
  • 船舶设计
  • 血液在动脉和静脉中的流动、心脏的工作方式

陶哲轩有关Navier-Stokes方程的博文

鉴于Terence Tao成为教授前主修的是PDE和调和分析,这可能是他最心仪的千禧难题。陶教授的观点: there are many sister equations of Navier-Stokes, and it may well be that the ultimate solution to this problem may lie in first understanding a related model of equations – the Euler equations, for instance.(纳维-斯托克斯方程有许多变体形式,并且问题的最终解决可能就在于首先得真正理解此类型偏微分方程模型中的弱形式——比如其中最理想化的欧拉方程。)

数学意义

像Navier-Stokes方程这样的数学物理方程凝结着对物理现象的最深刻和最可靠的理解。虽然Navier-Stokes方程看上去跟偏微分方程教材上的习题很相似,但它的难度显然与那些PDE习题不可同日而语,问题的解决将带来处理非线性PDE方面的新思想和新方法。即使最后给出的是否定解,这个问题的解决将很有可能像伽罗瓦解决五次以上代数方程没有求根公式一样发掘出前所未有的新思想和新方法。

物理学意义

Navier-Stokes方程的解决将带来航空、航海方面的工业革命,尤其是空气动力学、水力学还有心血管医学,问题的解决可能需要科学界出现新的普朗特和新的傅立叶。

参考资料

  1. CHARLES L. FEFFERMAN, EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE NAVIER–STOKES EQUATION
  2. K. Devlin,千年难题
  3. 克莱因,古今数学思想
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The Hodge Conjecture

July 18, 2010
霍奇猜想
The Hodge Conjecture
Hodge Conjecture
可以说霍奇猜想集中体现了现代数学发展中抽象特征在滚雪球般扩大的趋势,在克雷的官方资料中此猜想由证明韦伊猜想的比利时裔数学家 Pierre Deligne 给出权威解读。提出此猜想的霍奇爵士生前是名英国数学家,也是 M·阿蒂亚的老师,霍奇爵士当初是在国际数学家大会的演讲中把此猜想作为开放性问题提出
霍奇曾提出一个更一般化的推广命题,即广义霍奇猜想,但被格罗滕迪克指出显然不成立。格罗滕迪克是上个世纪很有影响力的数学家,他和另一位传奇数学人物塞尔强强联手革新了代数几何这门学科。
ζ 问题表述
ξ On a projective non-singular algebraic variety over C, any Hodge class is a rational linear combination of classes cl(Z) of algebraic cycles.
ξ 一个非奇异射影复代数簇上的每一个(一定类型的)调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。
ζ 数学元素
ξ 代数簇(Algebraic Variety):代数曲线、代数曲面推广到 n 维空间中的对应数学概念,即 n 维流形中坐标由一组 n 元代数方程的公共解确定的点的集合。
ξ 复流形:黎曼面的推广,保持复解析性,其上能定义微分运算,具有复杂的拓扑结构。非奇异射影复代数簇在数学上同时也是一种特殊的复流形。
ξ 上同调(Cohomology):上同调类定义了能刻画复流形基本特征的拓扑不变量
ξ  柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):全纯函数(即复分析中的解析函数)的充分必要条件。
ξ 拉普拉斯方程(Laplace’s Equation):一类在物理中很有用的椭圆型偏微分方程,拉普拉斯方程的解称为调和函数。解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程,拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导。
ξ 微分形式(Differential Form):外导数、外微分、外代数
ζ 数学意义
可以预见的是,与阿蒂亚-辛格指标定理一样,霍奇猜想的解决将在数学三大分支即分析、拓扑、代数之间找到某种基本的内在联系。

The Poincaré Conjecture

July 18, 2010
The Poincaré Conjecture
庞加莱猜想
Poincaré Conjecture
第一道获得解决的千禧难题,但并非因为其简单,而是因为在整个20世纪拓扑学凸显成为数学的基础和主流领域并得到了最大程度的发展。在克雷官方资料中此问题由发现"7维球面存在28种微分结构"的微分拓扑鼻祖 John Milnor 阐述。
ζ 问题的上下文
ξ 对二维流形(三维空间中的表面)的拓扑性质在十九世纪就得到了很好的认识并能按其表面上的洞的个数(拓扑学中称为亏格)来分类。富于直觉和想象力的庞加莱意识到二维球面(比如苹果的表面)可以用橡皮圈紧贴其表面进行任意连续形变能收缩为一个点这个性质来与其它诸如炸面包圈(环面)等二维流形区分开,即球面是单连通的。
ξ 当庞加莱往三维单位球面(四维欧几里德空间中与原点距离等于1的所有点 (x, y, z,w) 构成的集合)情形外推问题时,他发现他碰到了不可逾越的困难,并附注表示这个问题会引导我们更深刻地认识流形。
ξ 事后的历程表明庞加莱猜想即三维流形的情形异常困难。二维流形的情形显而易见,三维以上的情形在上个世纪被先后证明,而1904年庞加莱的发问却历经一个世纪后方于2003年由佩雷尔曼给出了圆满的回答,拓扑学家在证明庞加莱猜想过程中完成了一场跨越时空的数学接力。
ζ 问题表述
ξ 庞加莱猜想:任一单连通的、紧致(即封闭)的三维流形与三维球面同胚(即拓扑等价)。
ξ 几何化猜想:任意可定向紧致(即封闭)三维流形都可切割为若干块三维流形,这些子流形均为三维流形的八种标准几何构造之一。
ξ 瑟斯顿猜想:任意可定向紧致(即封闭)三维流形都有一个“几何构造”,这大体上就是说它可以分成许多小块,而每一块都有一个局部齐性度量。(M·阿提雅的叙述)
ζ 证明历程
⑴ 1961年,美国数学家 Stephen Smale 证明了高于四维情形的广义庞加莱猜想
⑵ 1982年
△ 美国数学家 Michael Freedman 证明了四维的情形,从而确立了广义庞加莱猜想。
△ 美国数学家 William Thurston 提出几何化猜想(Geometrization conjecture)
△ 美国数学家 Richard Hamilton 提出流形上的里奇流纲领
⑶ 2006年,俄罗斯数学家 Grisha Perelman 以汉密尔顿纲领为基础证明了几何化猜想
ζ 佩雷尔曼发布在预印本网站上的论文
⑴ The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (提交于2002年11月11日)
⑵ Ricci flow with surgery on three-manifolds (提交于2003年3月10日)
⑶ Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (提交于2003年7月17日)
ζ 专家解读
ξ Perelman’s proof of the Poincaré Conjecture: A Nonlinear PDE Perspective, Terence Tao
ξ Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, John Morgan & Gang Tian

The P versus NP Problem

July 18, 2010
P vs NP  Problem
Problem Statement. Does P = NP?
P = {L | L = L(M) for some Turing machine M that runs in polynomial time}.
The notation NP stands for “Nondeterministic Polynomial time”, since originally NP was defined in terms of nondeterministic machines (that is, machines that have more than one possible move from a given configuration).
To put it more briefly, P is the set of easy decision problems. NP is the class of decision problems for which it is easy to check the correctness of a claimed answer, with the aid of a little extra information. So we aren’t asking for a way to find a solution, but only to verify that an alleged solution really is correct.
In P are the problems where it’s easy to find a solution, and in NP are the problems where it’s easy to check a solution that may have been very tedious to find.
The crucial question related to P and NP is whether the subset relation is proper?
P ⊂ NP?
很显然的是P类都属于NP类(P ⊆ NP),这样问题就变成:是否某些NP类问题(比如旅行推销员问题)不存在多项式时间过程算法? 问题难在如何证明这一点?如何从逻辑上排除旅行推销员问题存在多项式时间过程算法的可能性?这跟黎曼假设的严格数学证明要排除临界线外有复零点的可能性一样困难。
复杂性范畴之间的包含关系:
LOGSPACE ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSPACE,用简单的对角化论证法能够证明LOGSPACE是PSPACE的真子集,其余的包含关系是否为真包含关系?无人能够证明。
很多研究复杂性理论的专家都认为 P≠NP,MIT的Scott Aaronson从哲学角度发表了他的看法:“如果P = NP,那么我们就会处于一个截然不同的世界中,创造性飞跃将失去其难能可贵的价值,解决一个问题和认识到问题有解没什么分别。任何一个能欣赏交响乐的人都能成为莫扎特,任何一个懂得数学证明的人都能成为高斯…”。(If P = NP, then the world would be a profoundly different place than we usually assume it to be. There would be no special value in “creative leaps,” no fundamental gap between solving a problem and recognizing the solution once it’s found. Everyone who could appreciate a symphony would be Mozart; everyone who could follow a step-by-step argument would be Gauss…)按 Stephen Cook 在白皮书中的说法,如果P = NP,那么机器就能给出克雷数学研究所七大难题的形式化证明,尽管证明会很繁琐很冗长。
在克雷数学研究所的官方资料中,此问题由 Stephen Cook (创造性地提出 NP-complete 概念并证明The satisfiability problem是NP-完全问题)作出权威解读。
ζ 相关的经典论文
ξ Finite Automata and Their Decision Problems, Michael O. Rabin & Dana Scott, 1959
ξ The Complexity of Theorem-Proving Procedures,  Stephen A. Cook,  1971
ξ Reducibility among combinatorial problems, Richard Karp, 1972

ζ 数学元素
ξ 图灵机(Turing Machine)
ξ 可计算性
ξ NP-完全:如果图论中的哈密顿回路有类似欧拉回路那样的多项式判定算法,则所有其它NP类问题也都能用多项式时间过程解决
ζ NP-hard 问题
ξ 哈密顿回路判定 (Hamiltonian Circuit )
ξ 旅行推销员问题 (The Traveling Salesman problem)
ξ 背包问题 (The Bin Packing problem)

The Riemann Hypothesis

July 18, 2010
RH:黎曼假设
Riemann hypothesis
Riemann Hypothesis
到新千年 CMI 拟定七大千禧难题时,希尔伯特在1900年提出的23个数学问题中只剩下第八问题(即有关素数的黎曼假设、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等)未获解决,作为纯数学家心目中最具份量的数学难题,黎曼假设理所当然荣膺七大千禧难题之列。
与庞加莱猜想一样,黎曼假设也是由大数学家提出、可是大数学家本人也没辙、最终遗留下来沦为猜想的数学问题。照科普书的说法,黎曼假设是"素数的音乐",通过Mellin变换(一种特殊的傅里叶变换)和Möbius反演,每一个非平凡零点都揭示了素数序列中的一种分布模式,由于有无穷多个非平凡零点,说明素数序列蕴含了无穷多种分布模式,难怪自然界和生物进化中处处都能触摸到素数的烙印。
鉴于已经有数千个所谓的“定理”都以预设RH为前提,人们宁愿称其为“黎曼假设”而非“黎曼猜想”。
在克雷官方的白皮书中,黎曼假设由解析数论的泰斗邦别里教授来解读,邦别里教授是黎曼假设最忠实的信徒,他像信仰宗教一样坚信黎曼假设正确无误只欠一个严格的数学证明。
ζ 问题表述
ξ The real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ½.
ξ 黎曼 ζ 函数的所有非平凡复零点都位于复平面 Re(s)=1/2 的直线上。
ζ 证明RH的进程
⑴ 1914年,英国数学家G.H.哈代证明临界线上有无穷多个零点
⑵ 1942年,挪威裔数学家塞尔伯格证明有一定比例的零点位于临界线上
⑶ 1948年,法国裔数学家韦伊证明函数域上的黎曼假设
⑷ 1974年,美国数学家诺曼·莱文森证明不少于三分之一的零点在临界线上
⑸ 1989年,布赖恩·康雷证明不少于四成的零点在临界线上
ζ 专家评论
ξ Atle Selberg(他证明了非平凡零点在临界线上有一个正测度,还给出了素数定理的第一个初等证明): ⑴如果我们置身的宇宙中有一个毋庸置疑的数学断言,那一定是黎曼假设,既然实在找不出更好的理由,那就纯粹以审美作为理由,惟有简洁明了的思想才会经受住时间的考验。 ⑵ 迄今为止所有证明黎曼假设的尝试都无济于事,简言之,没有人对解决这个问题有什么好主意,换言之,还没有人领悟潜藏在这个问题背后的数学结构。 ⑶ 黎曼假设恐怕很久以后才会有结果,从希尔伯特伊始事实一再证明我们对这个问题过于乐观了。
ξ J. Brian Conrey: 黎曼假设告诉我们素数的分布极其完美。如果黎曼假设是错的,素数分布就会出现诡异的不规则性状,第一个跑到临界线外的零点将会成为重要的数学常数。自然绝不会那么荒诞!
ξ Marcus du Sautoy: 正如我们知道的,黎曼假设可以作为一个典范来阐明广受数学家信奉的柏拉图主义哲学:在丑与美之中,自然总是会选择后者。
ξ 当有人问大卫·希尔伯特如果他能象传说中的巴巴罗萨(神圣罗马帝国皇帝)一样在去世五百年后复活,开口的第一句话会问什么?希尔伯特说:我会问黎曼假设被证明了吗?
ξ H.Montgomery: 如果你是魔鬼并且答应一名数学家只要愿意出卖灵魂就可以换取一个数学定理的证明,你猜哪个数学定理会让大部分数学家宁可为此典当灵魂?我敢说那一定是黎曼假设。
ζ 数学元素
ξ ζ(s):The Riemann zeta function
ξ 解析延拓:analytic continuation
ξ 素数的分布模式
ξ 素数定理
ξ π(x):度量素数密度,几何图像为台阶形爬升折线
ξ 对数积分:Li(x),π(x)的最佳逼近函数
ξ 狄利克雷L函数:the zeta functions of Dirichlet
ζ 相关论著
ξ Riemann’s Zeta Function(Harold M. Edwards),学术专著
ξ Prime Obsession-Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics(John Derbyshire),由数学家写的科普书
ξ The Music of the Primes-Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters,由出色的科普传教士兼数学家Marcus du Sautoy写的科普书
ξ 黎曼博士的零点,(英)萨巴,通俗科普书

Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

July 18, 2010
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
伯奇 & 斯温纳顿-戴尔猜想
Birch & Swinnerton - Dyer Conjecture
20世纪60年代,剑桥大学的B. Birch和H. P. F. Swinnerton-Dyer利用当时尚属稀缺资源的计算机对椭圆曲线的有理解进行了大量计算,并对计算数据进行分析后提出了这个深刻的数学猜想。
怀尔斯证明费马大定理后声名鹊起,当有人问他会不会尝试黎曼假设时,他说自从费马大定理被证明后他最心仪的数学难题是BSD猜想。
其实BSD猜想荣膺七大千禧难题之列,与怀尔斯作为克雷数学研究所科学顾问团和理事会的成员有一些渊源,2000年克雷数学研究所效法1900年的希尔伯特,恳请数学、物理领域久负盛名的世界顶级专家拟定七大千禧难题,Edward Witten 和 Arthur Jaffe 圈定了<杨-米尔斯理论与质量缺口假设>,Alain Connes 圈定了<黎曼假设>,而Andrew Wiles 则圈定了<伯奇 & 斯温纳顿-戴尔猜想>,在克雷数学研究所的官方资料中BSD猜想的权威解读也是由怀尔斯给出。
ζ 初等数学渊源
是否存在边长为有理数而面积为正整数 d 的直角三角形?(比如 d=6 则勾三股四弦五是满足条件的解)如果存在,这样的有理直角三角形有多少个?找出所有这样的 d?
ζ 问题表述
The Taylor expansion of L(C, s) at s = 1 has the form
L(C, s) = c (s-1)^{r} + higher order terms
with c ≠ 0 and r = rank(C(Q)).
In particular this conjecture asserts that L(C, 1) = 0 ⇔ C(Q) is infinite.
ζ 数学元素
ξ 椭圆曲线(Elliptic Curve):形如 {y^2=x^3+a*x+b} 的二元三次方程的几何图像,这是一般的二元三次方程 {A*x^3+B*x^2*y+C*x*y^2+D*y^3+E*x^2}+\\{F*x*y+G*y^2+H*x+I*y+J=0}
通过代数变换后的等价简约式。
ξ 关于模运算的有限群
ξ 狄利克雷 L(s,χ) 级数(Dirichlet L-Series)
ζ 相关联的数学猜想
谷山-志村猜想(Taniyama-Shimura Conjecture):有理代数域上椭圆曲线与模形式一一对应,即如今的怀尔斯定理
ζ 数学意义
BSD猜想与朗兰兹纲领志同道合,问题的解决可能会在群论和数论之间找到某种基本的联系。