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Existence And Smoothness of The Navier-Stokes Equation

March 11, 2011

纳维-斯托克斯方程组通解的存在性与光滑性

Existence And Smoothness of The Navier-Stokes Equation

Navier-Stokes Equation

∂u/∂t + (u • ▽)u = ƒ – grad p + νΔu

div u = 0

This is the equation which governs the flow of fluids such as water and air. However, there is no proof for the most basic questions one can ask: do solutions exist, and are they unique? Why ask for a proof? Because a proof gives not only certitude, but also understanding.

Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.

鉴于流体(液体和气体)与人们的生活息息相关,这个有关纳维-斯托克斯方程的问题可能是实用价值最高的一道千禧难题。在克雷的官方白皮书中此问题由数学分析及PDE专家、22岁就成为正教授的美国数学家 Charles L. Fefferman 来解读。

查尔斯·费夫曼先生在阐释此问题的白皮书的结尾发出这样的感慨: Fluids are important and hard to understand. There are many fascinating problems and conjectures about the behavior of solutions of the Euler and Navier–Stokes equations. Since we don’t even know whether these solutions exist, our understanding is at a very primitive level. Standard methods from PDE appear inadequate to settle the problem. Instead, we probably need some deep, new ideas.(流体的重要性不言而喻,但流体的性质难以捉摸。 许多引人深思的问题和猜想都与欧拉及纳维-斯托克斯方程组的解的性态有关。鉴于我们甚至都不知道解是否真的存在,我们对此的认识尚处于蒙昧之中。现有偏微分方程理论的方法似乎不足以解决此问题。相反,恐怕我们需要某种更深刻的新思想和新方法。)

与杨-米尔斯方程解的存在性与质量缺口假设一样,解决纳维-斯托克斯方程可能需要物理和数学两方面双管齐下、并驾齐驱。

问题表述

A fundamental problem in analysis is to decide whether such smooth, physicallyreasonable solutions exist for the Navier–Stokes equations.

Navier-Stokes方程的历史

  • 丹尼尔·伯努利在其代表作《Hydrodynamica》(《流体动力学》)中用能量守恒推导了伯努利方程,其中的关键思想是把解取为向量场(Vector Field)。
  • 在Daniel Bernoulli工作的基础上,欧拉建立了描述理想(即不考虑黏性)流体运动的欧拉方程。
  • 纳维和斯托克斯改进了欧拉的方程组,使之适用于黏性流体(即考虑流体摩擦力)。纳维的推导逻辑上不够缜密,但他凭借工程师的直觉得到了正确的方程。爱尔兰数学家斯托克斯爵士则在他的论文《关于运动流体内部摩擦的理论》中正确推导出Navier-Stokes方程。

数学元素

  • 偏微分方程(PDE,Partial Differential Equations):因变量作为以空间和时间为自变量的连续变化的函数的数学模型。
  • 向量微积分(Vector calculus):亦称向量分析(Vector Analysis)
  • 向量场
  • 爆裂时间(blowup time):已知各种初始条件,总能找到一个正数T,使得Navier-Stokes方程对0≤t≤T的所有时间可解。一般来说,数T实在太小了,数T被称作这个特定系统的“爆裂”时间。
  • 计算流体力学(CFD):使用各种各样的数值方法(例如有限差分、有限元、边界元、分析元等等)来求解流体力学的前沿问题。
  • 伯努利方程:适用于非粘滞、不可压缩定常流,在流体力学和空气动力学中有关键性的作用。伯努利方程表明:当流体流过一个表面时,流体作用于表面的压强随着流体速度的增大而减小。这样,伯努利方程解释了为什么飞机能在空中飞行,奠定了现代航空理论的基础。
  • 欧拉方程:描述理想流体运动的PDE,欧拉在1755年发表的论文《流体运动的一般原理》中给出了此方程,怎样一般地解这个方程呢?欧拉说他也不知道。在论文中欧拉这样写道:“如果我们不能洞察关于流体运动的完全的知识的话,那么归结其原因,不在于力学,或不在于已知的运动原理不够充分;这里是分析本身抛弃了我们,因为流体运动的全部理论正好被化归成分析公式的解。”。欧拉没能解出方程,尽管不在克雷千禧难题的范围内,但欧拉方程也是至今尚未解决的数学难题,按陶哲轩教授的看法,要解决Navier-Stokes方程,可能得先解决Navier-Stokes方程的弱命题——欧拉方程,以从中找到某种线索或启示。
  • 纳维-斯托克斯方程:一组五个耦合的二阶非线性偏微分方程组,本质上为微分形式的移动动量方程,属于混合型PDE。(ⅰ)因Navier-Stokes方程包含作为自变量的时间,并描述了空间输运机制,故方程是抛物型的。(ⅱ)若流动是定常的,时间导数项为0,则方程 ⑴ 在亚声速范围内呈椭圆性;⑵ 在超声速范围内呈双曲性。
  • 弱解(weak solutions of the Navier–Stokes equations): J. Leray(勒雷,法国数学家)的创见。A long-established idea in analysis is to prove existence and regularity of solutions of a PDE by first constructing a weak solution, then showing that any weak solution is smooth. This program has been tried for Navier–Stokes with partial success.

物理学元素(流体力学)

  • 雷诺数(Reynolds):反比于流体的黏性。
  • 湍流、层流:J. 勒雷认为湍流可能与Navier-Stokes方程的弱解非唯一和解缺乏光滑性有关。
  • 边界层:由现代流体力学之父Ludwig Prandtl在1904年提出的重要概念,边界层是与物体表面相邻的很薄的层面,边界层内黏性起重要作用因而不容忽视,边界层以外的流体则可近似为理想流体,这个观点可能是现代流体力学在理论方面最重大的进展。

应用领域

  • 航空飞行器设计
  • 船舶设计
  • 血液在动脉和静脉中的流动、心脏的工作方式

陶哲轩有关Navier-Stokes方程的博文

鉴于Terence Tao成为教授前主修的是PDE和调和分析,这可能是他最心仪的千禧难题。陶教授的观点: there are many sister equations of Navier-Stokes, and it may well be that the ultimate solution to this problem may lie in first understanding a related model of equations – the Euler equations, for instance.(纳维-斯托克斯方程有许多变体形式,并且问题的最终解决可能就在于首先得真正理解此类型偏微分方程模型中的弱形式——比如其中最理想化的欧拉方程。)

数学意义

像Navier-Stokes方程这样的数学物理方程凝结着对物理现象的最深刻和最可靠的理解。虽然Navier-Stokes方程看上去跟偏微分方程教材上的习题很相似,但它的难度显然与那些PDE习题不可同日而语,问题的解决将带来处理非线性PDE方面的新思想和新方法。即使最后给出的是否定解,这个问题的解决将很有可能像伽罗瓦解决五次以上代数方程没有求根公式一样发掘出前所未有的新思想和新方法。

物理学意义

Navier-Stokes方程的解决将带来航空、航海方面的工业革命,尤其是空气动力学、水力学还有心血管医学,问题的解决可能需要科学界出现新的普朗特和新的傅立叶。

参考资料

  1. CHARLES L. FEFFERMAN, EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE NAVIER–STOKES EQUATION
  2. K. Devlin,千年难题
  3. 克莱因,古今数学思想